Rodolfo Cartas for openphoto.net

Arrow 

射とは、圏論の用語で関数っぽい振る舞いをするものの抽象概念だ。Scalaz だと Function1[A, B]、PartialFunction[A, B]、Kleisli[F[_], A, B]、そして CoKleisli[F[_], A, B] がこれにあたる。他の型クラスがコンテナを抽象化するのと同様に Arrow はこれらを抽象化する。

以下が Arrow の型クラスコントラクトだ:

trait Arrow[=>:[_, _]] extends Category[=>:] { self =>
  def id[A]: A =>: A
  def arr[A, B](f: A => B): A =>: B
  def first[A, B, C](f: (A =>: B)): ((A, C) =>: (B, C))
}

Arrow[=>:[_, _]] は Category[=>:] を継承するみたいだ。

Category と Compose 

以下が Category[=>:[_, _]] だ:

trait Category[=>:[_, _]] extends ArrId[=>:] with Compose[=>:] { self =>
  // no contract function
} 

これは Compose[=>:] を継承する:

trait Compose[=>:[_, _]]  { self =>
  def compose[A, B, C](f: B =>: C, g: A =>: B): (A =>: C)
}

compose 関数は 2つの射を合成する。Compose は以下の演算子を導入する:

trait ComposeOps[F[_, _],A, B] extends Ops[F[A, B]] {
  final def <<<[C](x: F[C, A]): F[C, B] = F.compose(self, x)
  final def >>>[C](x: F[B, C]): F[A, C] = F.compose(x, self)
}

>>> と <<< の意味は射に依存するけど、関数の場合は andThen と compose と同じだ:

scala> val f = (_:Int) + 1
f: Int => Int = <function1>

scala> val g = (_:Int) * 100
g: Int => Int = <function1>

scala> (f >>> g)(2)
res0: Int = 300

scala> (f <<< g)(2)
res1: Int = 201

Arrow、再び 

Arrow[=>:[_, _]] の型宣言は少し変わってみえるけど、これは Arrow[M[_, _]] と言っているのと変わらない。2つのパラメータを取る型コンストラクタで便利なのは =>:[A, B] を A =>: B のように中置記法で書けることだ。

arr 関数は普通の関数から射を作り、id は恒等射を返し、first は既存の射の出入力をペアに拡張した新しい射を返す。

上記の関数を使って、Arrow は以下の演算子を導入する:

trait ArrowOps[F[_, _],A, B] extends Ops[F[A, B]] {
  final def ***[C, D](k: F[C, D]): F[(A, C), (B, D)] = F.splitA(self, k)
  final def &&&[C](k: F[A, C]): F[A, (B, C)] = F.combine(self, k)
  ...
}

Haskell の Arrow tutorial を読んでみる:

(***) combines two arrows into a new arrow by running the two arrows on a pair of values (one arrow on the first item of the pair and one arrow on the second item of the pair).

(***) は 2つの射を値のペアに対して (1つの射はペアの最初の項で、もう 1つの射はペアの 2つめの項で) 実行することで 1つの新しいに射へと組み合わせる。

具体例で説明すると:

scala> (f *** g)(1, 2)
res3: (Int, Int) = (2,200)

(&&&) は 2つの射を両方とも同じ値に対して実行することで 1つの新しい射へと組み合わせる:

以下が &&& の例:

scala> (f &&& g)(2)
res4: (Int, Int) = (3,200)

関数やペアにらんらかのコンテキストを与えたい場合は射が便利かもしれない。