積 

まずは集合の積を考える。集合 A と B があるとき、A と B のデカルト積は順序対 (ordered pairs) の集合となる
A × B = {(a, b)| a ∈ A, b ∈ B}

2つの座標射影 (coordinate projection) があって

これは以下の条件を満たす:

• fst ∘ (a, b) = a
• snd ∘ (a, b) = b

この積という考えは case class やタプルの基底 trait である scala.Product にも関連する。

任意の要素 c ∈ A × B に対して、c = (fst ∘ c, snd ∘ c) ということができる。

昨日と同じトリックを使って、明示的に単集合を導入する:

この(外部)図式は上の条件を捕捉している。ここで 1-要素を一般化すると圏論的定義が得られる。

定義 2.15. 任意の圏 C において、対象 A と B の積の図式は対象 P と射 p₁ と p₂ から構成され

以下の UMP を満たす:

この形となる任意の図式があるとき

次の図式

が可換となる (つまり、x₁ = p₁ u かつ x₂ = p₂ u が成立する) 一意の射 u: X => P が存在する。

この定義は普遍であるため、任意の圏に適用することができる。

積の一意性 

普遍性は A と B の積の全てが同型を除いて一意であることも示唆する。

命題 2.17 積は同型を除いて一意である。

P と Q が対象 A と B の積であるとする。

1. P は積であるため、p₁ = q₁ ∘ i かつ p₂ = q₂ ∘ i を満たす一意の i: P => Q が存在する。
2. Q は積であるため、q₁ = p₁ ∘ j かつ q₂ = p₂ ∘ j を満たす一意の j: Q => P が存在する。
3. i と j を合成することで 1_P = j ∘ i が得られる。
4. 同様にして 1_Q = i ∘ j。
5. i は同型射、P ≅ Q である。∎

全ての積は同型であるため、一つを取って A × B と表記する。また、射 u: X => A × B は ⟨x₁, x₂⟩ と表記する。

例 

Sets 圏ではデカルト積が積となることは紹介した。

P が poset だとして、要素 p, q ∈ P の積を考える。以下のような射影が必要なる

• p × q ≤ p
• p × q ≤ q

　そして任意の要素 x で x ≤ p かつ x ≤ q であるものに対しては

• x ≤ p × q

を満たす必要がある。

この場合 p × q は最大下限 (greatest lower bound) となる。