Semigroupal 

Functors, Applicative Functors and Monoids:

ここまではファンクター値を写すために、もっぱら 1 引数関数を使ってきました。では、2 引数関数でファンクターを写すと何が起こるでしょう？

import cats._

{
  val hs = Functor[List].map(List(1, 2, 3, 4)) ({(_: Int) * (_:Int)}.curried)
  Functor[List].map(hs) {_(9)}
}
// res0: List[Int] = List(9, 18, 27, 36)

LYAHFGG:

では、ファンクター値 Just (3 *) とファンクター値 Just 5 があったとして、 Just (3 *) から関数を取り出して Just 5 の中身に適用したくなったとしたらどうしましょう?

Control.Applicative モジュールにある型クラス Applicative に会いに行きましょう！型クラス Applicative は、2つの関数 pure と <*> を定義しています。

Cats はこれを Cartesian、Apply、 Applicative に分けている。以下が Cartesian のコントラクト:

/**
 * [[Semigroupal]] captures the idea of composing independent effectful values.
 * It is of particular interest when taken together with [[Functor]] - where [[Functor]]
 * captures the idea of applying a unary pure function to an effectful value,
 * calling `product` with `map` allows one to apply a function of arbitrary arity to multiple
 * independent effectful values.
 *
 * That same idea is also manifested in the form of [[Apply]], and indeed [[Apply]] extends both
 * [[Semigroupal]] and [[Functor]] to illustrate this.
 */
@typeclass trait Semigroupal[F[_]] {
  def product[A, B](fa: F[A], fb: F[B]): F[(A, B)]
}

Semigroupal は product 関数を定義して、これは F[A] と F[B] から、効果 F[_] に包まれたペア (A, B) を作る。

Cartesian 則 

Cartesian には結合則という法則が1つのみある:

trait CartesianLaws[F[_]] {
  implicit def F: Cartesian[F]

  def cartesianAssociativity[A, B, C](fa: F[A], fb: F[B], fc: F[C]): (F[(A, (B, C))], F[((A, B), C)]) =
    (F.product(fa, F.product(fb, fc)), F.product(F.product(fa, fb), fc))
}